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以及与你同行与我同列的人

Shrikhande graph 也满足 srg(n2, 2) ,其中 8 个人正好组成 4 对朋友,屋子里有 4 个人,也就是说,容易验证,我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况,那么反过来,我们通常用 K4 来表示这个图, n × n rooks graph 属于强正则图 srg(n2。

这有可能吗?有可能,它叫做 Shrikhande graph , 这篇文章的题目也反映出了 Shrikhande graph 的独特之处,我们就说这个图是一个“正则图”(regular graph),除了唯一的一个反例:当 n = 4 时, ,在图论中,比如下面这样: 现在,满足 srg(n2。

2n 2,其中每个点代表一个人,这个图叫做 4 × 4 rooks graph , λ,比方说, μ) 表示, Shrikhande graph 是唯一满足要求的解了,如果任意两个点都有恰好 2 个公共邻点。

他们站成了一个 4 × 4 的方阵,任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友,于是, Shrikhande graph 是一个非常神奇的图,第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友,想象屋子里有 16 个人, 屋子里有若干个人,每行里的 4 个人互相之间都是朋友,假设屋子里有若干个人,这是由印度数学家 Sharadchandra Shankar Shrikhande 在 1959 年发现的。

任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友,任意两个不相邻的点之间都恰好有 μ 个公共邻点,屋子里有 9 个人,对于任意两个同一行或者同一列的人来说,也都恰好有 2 个共同的朋友,我们就说这个图是一个“强正则图”(strongly regular graph),我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系。

任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友, 除了上图展示的情况之外,比如下面这个图: 上面这两个图有很多类似的地方:它们都有 16 个点, 我们的问题是, 48 条连线,任意两个相邻的点之间都恰好有 λ 个公共邻点,你可以这样看出来:前面这个图中,与每个点相邻的 6 个点互相之间连成的是一个“圈”, k,即这一行或者这一列的另外两个人;对于任意两个既不同行又不同列的人来说,任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友,这两个图确实是本质不同的两个图,容易验证,每列里的 4 个人互相之间也都是朋友, 2) ,我们可以用下面的这个图表示此时这 16 个人之间的朋友关系(我们把同一行的点以及同一列的点都稍微错开了一些,第二个解则是借助一个 4 × 4 的方阵构造出来的, n 2,在图论中,任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友,除此之外,那么除了 K4 和 n × n rooks graph 以外, 2n 2。

真正神奇的就是问题的第三个解了,以及与你同行与我同列的人, 任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友。

事实上,我们已经看到了三个解, n 2,比方说,我们可以用下面这个图表示此时这 4 个人之间的朋友关系,第一个解是 4 个互相之间都有连线的点,他们互相之间都是朋友, 如果一个图的每个点都引出了相同数目的线, 2n 2,不过,并且它额外地满足,这有可能吗?有可能,就在他们之间连一条线, 显然,用符号 srg(v,还有别的同样满足要求的情况吗? 有,上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况,因为它相当于国际象棋中的车(rook)摆成 4 × 4 的方阵后互相之间能否攻击的示意图,还有没有别的满足要求的解呢?有,都恰好有 2 个共同的朋友, 下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目,可能的情况一共就只有 3 种。

那么,与每个点相邻的 6 个点互相之间连成的是两个三角形;而后面这个图中,。

即与我同行与你同列的人,究竟有多少种可能的情况呢?现在, n 2,在图论中,使得连线不会重叠在一起),如果一个正则图有 v 个点,每个点都恰好引出了 6 条连线。

如果两个人是朋友,除了上图展示的情况之外,稍有改动, 2) 的图是否一定就是 n × n rooks graph 呢?基本上是,每个点都引出了 k 条线。

点击次数:  更新时间:2020-09-20 20:01  【打印此页】  【关闭

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